Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich ${\displaystyle {}n}$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Sei ${\displaystyle {}x}$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu ${\displaystyle {}0}$ wird, also modulo ${\displaystyle {}p_{i}^{r_{i}}}$ den Rest ${\displaystyle {}0}$ hat für alle ${\displaystyle {}i=1,2,\ldots ,k}$. Dann ist ${\displaystyle {}x}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p_{i}^{r_{i}}}$ für alle ${\displaystyle {}i=1,2,\ldots ,k}$, d.h. in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}x}$ muss ${\displaystyle {}p_{i}}$ zumindest mit den Exponenten ${\displaystyle {}r_{i}}$ vorkommen. Also muss ${\displaystyle {}x}$ nach Fakt ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$. Damit ist ${\displaystyle {}x=0}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ und die Abbildung ist injektiv.