In einem lokalen regulären Ring gibt es für den Restklassenkörper ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}=K}$ eine explizite endliche Auflösung, die sogenannte Koszul-Auflösung. Für ein minimales Erzeugendensystem

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,}$

hat sie die Form

${\displaystyle 0\longrightarrow R\longrightarrow R^{\binom {n}{n-1}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow R^{\binom {n}{3}}\longrightarrow R^{\binom {n}{2}}\longrightarrow R^{n}{\stackrel {f_{1},\ldots ,f_{n}}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0,}$

wobei sich die Abbildungen links durch gewisse alternierende Produkte der Linearform ${\displaystyle {}R^{n}\rightarrow R}$ ergeben.