Es sei ${\displaystyle {}x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ sei ${\displaystyle {}n_{0}}$ derart, dass

${\displaystyle {}b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.}$

Für ${\displaystyle {}m\geq n\geq n_{0}}$ ist dann

${\displaystyle {}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,}$

da ja ${\displaystyle {}x_{m},x_{n}\in I_{n}}$ ist. Es sei ${\displaystyle {}x}$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre ${\displaystyle {}x\notin I_{m}}$ für ein ${\displaystyle {}m}$, so wäre

${\displaystyle {}x<a_{m}\,}$

(oder ${\displaystyle x>b_{m}}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ würden dann auch die Folgenglieder für ${\displaystyle {}n}$ hinreichend groß echt unterhalb von ${\displaystyle {}a_{m}}$ und damit von ${\displaystyle {}a_{n}}$ liegen, im Widerspruch zu ${\displaystyle {}x_{n}\in I_{n}}$. Also ist ${\displaystyle {}x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$. Würden zwei Zahlen ${\displaystyle {}x<y}$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

${\displaystyle {}y-x\leq b_{n}-a_{n}\,}$

für alle ${\displaystyle {}n}$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergieren.