Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei abzählbar, dann ist insbesondere auch das Einheitsintervall ${\displaystyle {}[0,1[}$ abzählbar. Sei also

${\displaystyle \psi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow [0,1[}$

eine surjektive Abbildung. Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl ${\displaystyle {}r\in [0,1[}$ besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als Reihe

${\displaystyle r=\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}(r)3^{-k},}$

wobei die ${\displaystyle {}k}$-te Nachkommaziffer ${\displaystyle {}z_{k}(r)\in \{0,1,2\}}$ ist und wobei nicht fast alle Ziffern gleich ${\displaystyle {}2}$ sind (sonst hätte man keine Eindeutigkeit). Wir definieren nun eine reelle Zahl durch ${\displaystyle {}s=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}3^{-k}}$ mit

${\displaystyle b_{k}={\begin{cases}0,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=1{\text{ oder }}2,\\1,\,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=0\,.\end{cases}}}$

Wir behaupten, dass diese Zahl ${\displaystyle {}s}$ nicht in der Aufzählung ${\displaystyle {}\psi }$ vorkommt. Für jedes ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ ist nämlich ${\displaystyle {}\psi (k)\neq s}$, da ${\displaystyle {}\psi (k)}$ sich nach Konstruktion von ${\displaystyle {}s}$ an der ${\displaystyle {}k}$-ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist ${\displaystyle {}\psi }$ doch nicht surjektiv.