Zu ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$ betrachten wir die Translationsabbildung

${\displaystyle \varphi _{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P+v.}$

Es sei ${\displaystyle {}\mu$ :=(\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n}} das Bildmaß unter der Translationsabbildung. Dieses ist wieder ein ${\displaystyle {}\sigma }$-endliches Maß. Für jeden Quader ${\displaystyle {}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[}$ ist ${\displaystyle {}Q'=Q+v}$ bzw. ${\displaystyle {}{\tilde {Q}}=Q-v}$ wieder ein achsenparalleler Quader, wobei sich die Seitenlängen nicht ändern. Daher ist

${\displaystyle {}\mu (Q)=((\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n})(Q)=\lambda ^{n}(\varphi _{v}^{-1}(Q))=\lambda ^{n}(Q-v)=\lambda ^{n}({\tilde {Q}})=\lambda ^{n}(Q)\,.}$

Das Maß ${\displaystyle {}\mu }$ stimmt also auf den Quadern mit ${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$ überein und daher ist nach Fakt überhaupt

${\displaystyle {}\mu =\lambda ^{n}\,.}$