Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers ${\displaystyle {}\mathbb {Q} {\left({\sqrt {-3}}\right)}}$, also der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-3}$. Nach Fakt haben die Eisenstein-Zahlen die Form

${\displaystyle {}z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$. Insbesondere ist ${\displaystyle {}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/3}}$ eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel, so dass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Es ist also ${\displaystyle {}\omega ^{3}=1}$ und wegen ${\displaystyle {}\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)}$ gilt die Gleichung

${\displaystyle {}\omega ^{2}+\omega +1=0\,.}$