Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}n}$, bei ${\displaystyle {}n=0}$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei die Aussage für ${\displaystyle {}n}$ Primideale bewiesen, und seien ${\displaystyle {}n+1}$ Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{j=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{j}\,,}$

sei ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {b}}\cup {\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {p}}_{n}}$. Bei

${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}\,}$

sind wir fertig, sei also ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {p}}_{n+1}}$. Wäre

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,}$

so würde nach Aufgabe ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}}$ oder ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}}$ oder ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}}$ für ein ${\displaystyle {}i\leq n}$ gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,}$

sei ${\displaystyle {}g\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}}$ und ${\displaystyle {}g\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}}$. Dann ist ${\displaystyle {}f+g\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}f+g\notin {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n+1}{\mathfrak {p}}_{i}}$.