Prädikatenlogik/Substitutionslemma/Fakt

Substitutionslemma

Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte ${}S$ -Terme. Es sei eine ${}S$ -Interpretation ${}I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.

Für jeden ${}S$ -Term ${}s$ gilt
${}I{\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}={\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}(s)\,.$

Für jeden ${}S$ -Ausdruck ${}\alpha$ gilt
$I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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