Die Monome ${\displaystyle {}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}}$ vom Gesamtgrad ${\displaystyle {}d=\sum _{j=1}^{n}d_{j}\nu _{j}}$ bilden eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}R_{d}}$. Die Dimension der ${\displaystyle {}d}$-ten Stufe ${\displaystyle {}R_{d}}$ ist also die Anzahl der Elemente in der Menge

${\displaystyle {}A_{d}:={\left\{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}=d\right\}}\,.}$

Die Behauptung folgt somit aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{d=0}^{\infty }\vert {A_{d}}\vert z^{d}&=\sum _{d=0}^{\infty }\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in A_{d}}z^{d}\\&={\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }z^{\nu _{1}d_{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }z^{\nu _{n}d_{n}}\right)}\\&={\frac {1}{1-z^{d_{1}}}}\cdots {\frac {1}{1-z^{d_{n}}}},\end{aligned}}}$

wobei wir im letzten Schritt die Formel für die geometrische Reihe verwendet haben.