Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten ${\displaystyle {}P}$-Moduln

${\displaystyle 0\longrightarrow P(-d){\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P\longrightarrow R\longrightarrow 0}$

und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Vektorräumen

${\displaystyle 0\longrightarrow P_{n-d}{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P_{n}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0}$

vor. Daher gilt

${\displaystyle {}H_{R}(n)=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\,.}$

Nach Beispiel ist

${\displaystyle {}H_{P}(n)={\binom {n+m-1}{m-1}}\,}$

für ${\displaystyle {}n\geq 0}$. Somit ist für ${\displaystyle {}n\geq d}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}H_{R}(n)&=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\\&={\binom {n+m-1}{m-1}}-{\binom {n-d+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}-{\frac {(n-d+m-1)\cdots (n-d+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}{\left({\frac {m(m-1)}{2}}+(m-1)d-{\frac {m(m-1)}{2}}\right)}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}\\&={\frac {d}{(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}}$