Sei ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]}$ der Polynomring in ${\displaystyle {}m}$ Variablen über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Dann gibt es nach Aufgabe genau ${\displaystyle {}{\binom {n+m-1}{m-1}}}$ Monome vom Grad ${\displaystyle {}n}$. Dies ist somit die ${\displaystyle {}K}$-Vektorraumdimension der ${\displaystyle {}n}$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten ${\displaystyle {}R}$-Moduls ${\displaystyle {}R}$ ist also

${\displaystyle {}{\begin{aligned}H_{R}(n)&={\binom {n+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}}$

Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.