Nach Voraussetzung hat ${\displaystyle {}F}$ die Gestalt

${\displaystyle {}F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots \,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ das maximale Ideal im Polynomring ${\displaystyle {}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Dabei gilt

${\displaystyle {}F\in {\mathfrak {a}}^{m}\,.}$

Für ein weiteres Polynom ${\displaystyle {}G\in {\mathfrak {a}}^{d-m}}$ (mit ${\displaystyle d\geq m}$) ist ${\displaystyle {}GF\in {\mathfrak {a}}^{d}}$. Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d-m}\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/({\mathfrak {a}}^{d},F)=R/{\mathfrak {m}}^{d}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von ${\displaystyle {}S/{\mathfrak {a}}^{d}}$ ist nach Aufgabe gleich

${\displaystyle {}{\binom {d-1+n}{n}}={\frac {(d+n-1)\cdots d}{n!}}={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\,.}$

Daher ergibt sich für ${\displaystyle {}d\geq m}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{d})&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {(d-m)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}(d-m)^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {d^{n}-nmd^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {nmd^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {md^{n-1}+\cdots }{(n-1)!}}.\end{aligned}}}$

Dies ist die Behauptung.