a) Es ist

${\displaystyle {}M-5E_{3}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&6\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,}$

eine Matrix mit Rang ${\displaystyle {}2}$, daher ist der Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle {}5}$ eindimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}$

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.}$

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,}$

so dass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent, allerdings ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&6\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&10&15\\0&0&30\\0&0&0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&6\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&10&12\\0&0&24\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.}$