Es sei ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ ein Eigenvektor von ${\displaystyle {}M={\left(d_{ij}\right)}_{ij}}$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}t\in K}$. Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies

${\displaystyle {}d_{11}x_{1}+\cdots +d_{1n}x_{n}=tx_{1}\,,}$

${\displaystyle {}d_{22}x_{2}+\cdots +d_{2n}x_{n}=tx_{2}\,,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {}d_{n-1\,n-1}x_{n-1}+d_{(n-1)n}x_{n}=tx_{n-1}\,,}$

${\displaystyle {}d_{nn}x_{n}=tx_{n}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}k}$ der größte Index mit ${\displaystyle {}x_{k}\neq 0}$, was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die ${\displaystyle {}k}$-te Gleichung

${\displaystyle {}d_{kk}x_{k}+\cdots +d_{kn}x_{n}=tx_{k}\,}$

zu

${\displaystyle {}d_{kk}x_{k}=tx_{k}\,}$

und wegen

${\displaystyle {}x_{k}\neq 0\,}$

folgt

${\displaystyle {}t=d_{kk}\,,}$

${\displaystyle {}t}$