Wir betrachten die ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Graduierung (aufgefasst als Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{4}\rightarrow \mathbb {Z} }$) auf ${\displaystyle {}K[U_{1},U_{2},V_{1},V_{2}]}$, bei der ${\displaystyle {}U_{1},U_{2}}$ den Grad ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}V_{1},V_{2}}$ den Grad ${\displaystyle {}-1}$ bekommen. Der Kern dieser Graduierung ist

${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{3}\cong \Delta$ :=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle \subset \mathbb {Z} ^{4}\,.}

Das Monoid wird zusätzlich von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}}$ erzeugt. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von Fakt den Kegel im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ eingeschränkt auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen

${\displaystyle \pi _{1}=(1,1,0),\,\pi _{2}=(0,0,1),\,\pi _{3}=(1,0,1),\,\pi _{4}=(0,1,0).}$

Die Erzeuger dieses Kegels im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ sind

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}.}$

Sie werden durch ${\displaystyle {}\pi }$ auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet.