Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid und sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.

1. Zeige, dass durch die Diagonalabbildung

   ${\displaystyle \triangle \colon M\longrightarrow M\times M,\,m\longmapsto (m,m),}$

   ein Monoidhomomorphismus gegeben ist.

2. Beschreibe den zugehörigen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

   ${\displaystyle K[M]\longrightarrow K[M\times M]\cong K[M]\otimes K[M].}$

3. Beschreibe die zugehörige Spektrumsabbildung

   ${\displaystyle K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\times K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}.}$

   Zeige insbesondere, dass dadurch ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}}$ selbst zu einem kommutativen Monoid wird.