Sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}m\times n}$-Matrix über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$. Sei ${\displaystyle {}k={\min {\left(m,n\right)}}}$ das Minimum von ${\displaystyle {}m}$ und ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}s=\operatorname {rang} \,M}$ der Rang von ${\displaystyle {}M}$.

Dann gibt es eine Darstellung

mit invertierbaren ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Elementarmatrizen ${\displaystyle {}L_{1},\ldots ,L_{p}}$ und ${\displaystyle {}R_{1},\ldots ,R_{q}}$ und einer Diagonalmatrix ${\displaystyle {}D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})}$.

Für ${\displaystyle {}i<s}$ (kleiner als der Rang von M) teilt ${\displaystyle {}n_{i}}$ jeweils ${\displaystyle {}n_{i+1}}$ und für ${\displaystyle {}i>s}$ gilt ${\displaystyle {}n_{i}=0}$.