Über dem kompakten Intervall ist die Funktion ${\displaystyle {}f}$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien ${\displaystyle {}m}$ und ${\displaystyle {}M}$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Fakt angenommen werden. Dann ist insbesondere ${\displaystyle {}m\leq f(x)\leq M}$ für alle ${\displaystyle {}x\in [a,b]}$ und

${\displaystyle {}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)}$ mit einem ${\displaystyle {}d\in [m,M]}$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein ${\displaystyle {}c\in [a,b]}$ mit ${\displaystyle {}f(c)=d}$.