${\displaystyle j_{1},\,j_{2},\ldots ,j_{n}}$

und ein ${\displaystyle {}r\leq n}$ derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

${\displaystyle s_{j_{k}}={\begin{pmatrix}b_{1,j_{k}}\\\vdots \\b_{k,j_{k}}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}{\text{ mit }}b_{k,j_{k}}\neq 0{\text{ für }}k\leq r}$

und

${\displaystyle s_{j_{k}}={\begin{pmatrix}b_{1,j_{k}}\\\vdots \\b_{r,j_{k}}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}{\text{ für }}k>r}$

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d_{11}&*&\cdots &*&*&\cdots &*\\0&d_{22}&\cdots &*&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &d_{rr}&*&\cdots &*\\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$