Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

${\displaystyle K^{n}\longrightarrow K^{m}.}$

Nach Fakt ist der Rang dieser Abbildung gleich ${\displaystyle {}r}$, d.h. das Bild ${\displaystyle {}V\subseteq K^{m}}$ besitzt die Dimension ${\displaystyle {}r}$. Es gibt also eine Faktorisierung

${\displaystyle K^{n}\longrightarrow V\longrightarrow K^{m},}$

wobei die erste Abbildung die durch ${\displaystyle {}M}$ gegebene Abbildung mit dem Bild ${\displaystyle {}V}$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion ${\displaystyle {}V\subseteq K^{m}}$. Mit einer Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{r}}$ von ${\displaystyle {}V}$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine ${\displaystyle {}r\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}A}$ und eine ${\displaystyle {}m\times r}$-Matrix ${\displaystyle {}B}$ beschrieben. Somit gilt

${\displaystyle {}M=B\circ A\,.}$

Da die durch ${\displaystyle {}A}$ beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf ${\displaystyle {}V}$ abbildet, ist ihr Rang gleich ${\displaystyle {}r}$. Da das Bild der durch ${\displaystyle {}B}$ beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension ${\displaystyle {}r}$ besitzt, ist ihr Rang auch ${\displaystyle {}r}$.