Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung
$\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$

mit ${}\varphi (0_{1})=0_{2}$ und

${}\varphi (n')=(\varphi (n))'\,$
für alle ${}n\in N_{1}$ .
Es sei ${}S$ ${{}} S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und ${}U\subseteq S$ ${}U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei ${}t$ ${}t$ ein ${}U$ ${}U$ -Term und ${}\alpha$ ${}\alpha$ ein ${}U$ ${}U$ -Ausdruck. Es seien zwei ${}S$ ${{}} S$ -Interpretationen ${}I_{1}$ ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ ${}I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge ${}M$ ${{}} M$ gegeben, die auf ${}U$ ${}U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
1. Es ist ${}I_{1}(t)=I_{2}(t)$ .
2. Es ist ${}I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn ${}I_{2}\vDash \alpha$ .
Es sei ${}\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und ${}\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Dann ist
$\Gamma \vdash \alpha$

genau dann, wenn

$\Gamma \vDash \alpha .$

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