{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq M}$ betrachten wir die Menge ${\displaystyle {}C^{1}(U,\mathbb {R} )}$ der differenzierbaren Funktionen auf ${\displaystyle {}U}$. Es sei ${\displaystyle {}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ eine offene Überdeckung. {{ Aufzählung3 |Zeige, dass zu ${\displaystyle {}V\subseteq U}$ offen und ${\displaystyle {}f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )}$ auch die Einschränkung {{math|term=f {{|}}_V |SZ=}} zu ${\displaystyle {}C^{1}(V,\mathbb {R} )}$ gehört. |Sei Zeige, dass genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen {{mathl|term=f {{|}}_{U_i} =0 |SZ=}} sind. |Es sei eine Familie von Funktionen gegeben, die die {{mathl|term=f_i {{|}}_{U_i \cap U_j} = f_j {{|}}_{U_i \cap U_j} |SZ=}} für alle ${\displaystyle {}i,j}$ erfüllen. Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )}$ gibt mit {{mathl|term=f {{|}}_{U_i} =f_i |SZ=}} für alle ${\displaystyle {}i}$. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Garbentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Garbe |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}