Sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$. Nach Voraussetzung gibt es wegen ${\displaystyle {}v_{i}\in {\mathfrak {m}}V}$ zu jedem ${\displaystyle {}v_{i}}$ eine Darstellung

${\displaystyle {}v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{ij}\in {\mathfrak {m}}}$. Daraus ergibt sich für jedes ${\displaystyle {}i}$ eine Darstellung

${\displaystyle {}(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+a_{in}v_{n}\,.}$

Da ${\displaystyle {}a_{ii}\in {\mathfrak {m}}}$ ist, ist der Koeffizient ${\displaystyle {}1-a_{ii}}$ eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach ${\displaystyle {}v_{i}}$ auflösen kann, so dass also ${\displaystyle {}v_{i}}$ überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.