Wegen Fakt liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement ${\displaystyle {}v_{j}}$ von ${\displaystyle {}V}$ wird unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf

${\displaystyle {}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\,}$

abgebildet. Somit wird das Basiselement ${\displaystyle {}1\otimes v_{j}}$ von ${\displaystyle {}V_{L}}$ unter ${\displaystyle {}\varphi _{L}}$ auf

${\displaystyle {}\varphi (1\otimes v_{j})=1\otimes \varphi (v_{j})=1\otimes {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\left(1\otimes w_{i}\right)}\,.}$

Die Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{ij}}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von ${\displaystyle {}\varphi _{L}}$.