Da ${\displaystyle {}f(v_{i})=w_{i}}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${\displaystyle {}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,}$

erfüllt, und jeder Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

${\displaystyle f\colon V\longrightarrow W,}$

indem wir jeden Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ mit der gegebenen Basis als

${\displaystyle {}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,}$

schreiben (wobei ${\displaystyle {}s_{i}=0}$ ist für fast alle ${\displaystyle {}i\in I}$) und

${\displaystyle {}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,}$

ansetzen. Da die Darstellung von ${\displaystyle {}v}$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${\displaystyle {}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}}$ und ${\displaystyle {}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}}$ gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.