Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.

Sei ${\displaystyle {}q}$ eine echte Primzahlpotenz und ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q^{2}}}$ jedes Element aus ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ ein Quadrat ist.

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+{\frac {3}{2}}X-{\frac {5}{7}}\right)}\,.}$

Sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$. Es sei ${\displaystyle {}p}$ ein Primfaktor von ${\displaystyle {}D}$ und es sei vorausgesetzt, dass weder ${\displaystyle {}p}$ noch ${\displaystyle {}-p}$ ein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}D/p}$ ist. Dann ist ${\displaystyle {}p}$ irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$, aber nicht prim.

Es sei ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]}$. Bestimme die Primideale in ${\displaystyle {}R}$, die über ${\displaystyle {}p=29}$ liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.

Es sei ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {15}}]}$. Bestimme die Primideale in ${\displaystyle {}R}$, die über ${\displaystyle {}p=17}$ liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?

Finde ein quadratfreies ${\displaystyle {}D}$ derart, dass die natürliche Inklusion

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}\,}$

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}'}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$ liegen. Was ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} }$?

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche ${\displaystyle {}A_{D}}$ mit negativem ${\displaystyle {}D}$ sämtliche Einheiten.

Zeige, dass in ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]}$ das Element ${\displaystyle {}8+3{\sqrt {7}}}$ eine Einheit ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}2}$ im Ring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }[{\sqrt {5}}]}$ irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in ${\displaystyle {}A_{5}}$ aus?