Levi-Civita-Symbol

Definition

${\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }:={\begin{cases}+1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\-1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\0,&{\mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}}$

Levi-Civita-Symbol im R^3

Aber was heißt das? Das Levi-Civita-Symbol ist ein invarianter, total antisymmetrischer (Pseudo-)Tensor n-ter Stufe.

Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ gilt:

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})}$

Daraus folgt:

${\displaystyle {\vec {a}}({\vec {b}}\times {\vec {c}})=a_{i}{\vec {e}}_{i}(b_{j}{\vec {e}}_{j}\times c_{k}{\vec {e}}_{k})=a_{i}b_{j}c_{k}{\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}e_{i,1}&e_{i,2}&e_{i,3}\\e_{j,1}&e_{j,2}&e_{j,3}\\e_{k,1}&e_{k,2}&e_{k,3}\end{vmatrix}}}$

Die Herleitung der Determinantenschreibweise ist als Übungsaufgabe aufgelistet, die Lösung steht dabei.

Beispiel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

Mit ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$ als normale kartesische Einheitsvektoren:

Gerade Permutation: ${\displaystyle \varepsilon _{123}={\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=(1\cdot 1\cdot 1)+(0\cdot 0\cdot 0)+(0\cdot 0\cdot 0)-((0\cdot 1\cdot 0)+(0\cdot 0\cdot 1)+(1\cdot 0\cdot 0))=1}$

Ungerade Permutation: ${\displaystyle \varepsilon _{132}={\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}=(1\cdot 0\cdot 0)+(0\cdot 1\cdot 0)+(0\cdot 1\cdot 0)-((0\cdot 0\cdot 0)+(1\cdot 1\cdot 1)+(0\cdot 0\cdot 0))=-1}$

Zwei gleiche Indizes: ${\displaystyle \varepsilon _{113}={\begin{vmatrix}1&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=(1\cdot 0\cdot 1)+(1\cdot 0\cdot 0)+(0\cdot 0\cdot 0)-((0\cdot 0\cdot 0)+(0\cdot 0\cdot 1)+(1\cdot 1\cdot 0))=0}$

Kronecker-Delta

Das Kronecker-Delta ${\displaystyle \!\,\delta _{ij}}$ ist ein Tensor zweiter Stufe mit zwei Indizes, i und j. Es wird hauptsächlich in Summenformeln bei Vektor- und Matrizenrechnung verwendet.

Definition

${\displaystyle \delta _{ij}:=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{falls }}i=j\\0&{\mbox{falls }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

Daraus folgt im dreidimensionalem euklidischem Raum mit den Einheitsvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j}}$:

${\displaystyle \delta _{ij}={\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}}$

Beispiel

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

für ${\displaystyle \!\,i=j=1}$ folgt ${\displaystyle \delta _{11}={\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}=(1\cdot 1+0\cdot 0+0\cdot 0)=1}$

für ${\displaystyle i\neq j}$ mit z.B. ${\displaystyle \!\,i=1,j=2}$ folgt: ${\displaystyle \delta _{12}={\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}=(1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 0)=0}$

Übungsaufgaben

Levi-Civita-und Kronecker-Delta
Hinweis: Da die Übungsaufgaben aufeinander aufbauen, bietet es sich an sie in der Reihenfolge 
zu bearbeiten.

1.) Zeige: ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=det({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j},{\vec {e}}_{k})}$ Lösung

2.) Zeige: ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ilm}=\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}}$ Lösung

3.) Zeige: ${\displaystyle {\vec {c}}({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {a}}({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {c}}\times {\vec {a}})}$ Lösung

4.) Zeige: ${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}},{\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}},{\vec {b}})}$ Lösung

5.) Zeige: ${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})({\vec {c}}\times {\vec {d}})=({\vec {a}},{\vec {c}})({\vec {b}},{\vec {d}})-({\vec {b}},{\vec {c}})({\vec {a}},{\vec {d}})}$ Lösung

6.) Zeige: ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}$ Lösung (Lösung fehlt noch!)

7.) Zeige: ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}=6}$ (Lösung fehlt noch!)

Nabla

Der Nabla-Operator bildet die partiellen Ableitungen einer Funktion nach den verschiedenen Koordinaten.

${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}={\vec {e}}_{i}\nabla _{i}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}$

Gradient

Der Gradient ${\displaystyle \nabla \,\varphi ({\vec {r}})}$, auch ${\displaystyle \operatorname {grad} \varphi ({\vec {r}})}$, ist als der Vektor, der durch das partielle Ableiten eines Skalarfeldes ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})}$ entsteht, definiert. Er existiert nur an den Stellen, wo das Skalarfeld ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})}$ nach allen Koordinaten partiell stetig differenzierbar ist.

Für ein Skalarfeld ${\displaystyle \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ im n-dimensionalem euklidischem Raum gilt:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi =\nabla _{i}\varphi {\vec {e}}_{i}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}{\vec {e}}_{i}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}$

Divergenz

Im n-dimensionalem euklidischen Raum gilt:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla {\vec {A}}({\vec {r}})=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial A_{i}({\vec {r}})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial A_{i}({\vec {r}})}{\partial x_{i}}}=\nabla _{i}A_{i}({\vec {r}})}$

Rotor (oft auch Rotation)

Im n-dimensionalem euklidischen Raum gilt:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})=\varepsilon _{ijk}\nabla _{i}A_{j}({\vec {r}}){\vec {e}}_{k}}$

Für ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ folgt:

${\displaystyle \operatorname {rot\ } {\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A_{3}({\vec {r}})}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}({\vec {r}})}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial A_{1}({\vec {r}})}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}({\vec {r}})}{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial A_{2}({\vec {r}})}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}({\vec {r}})}{\partial x_{2}}}\\\end{pmatrix}},}$

Übungsaufgaben

Differentialoperatoren grad, div, rot
Hinweis: Alle Skalarfelder, Vektorfelder sind zweifach stetig differenzierbar.

• 1.) Zeige: ${\displaystyle \operatorname {div\ } \operatorname {rot\ } {\vec {A}}=0}$ Lösung
• 2.) Zeige: ${\displaystyle \operatorname {rot\ } \operatorname {grad\ } B=0}$ Lösung (noch nicht vorhanden)
• 3.) Zeige: ${\displaystyle \operatorname {div\ } \operatorname {grad\ } B=0}$ Lösung (noch nicht vorhanden)

Verschiebung (Translation)

Verschiebung

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Drehung (Rotation)

Drehung gegen den Uhrzeigersinn

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