Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Ein Polynom ${\displaystyle {}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation ${\displaystyle {}\sigma \in S_{n}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}f=f^{\sigma }\,}$

besteht, wobei ${\displaystyle {}f^{\sigma }}$ aus ${\displaystyle {}f}$ entsteht, indem man überall in ${\displaystyle {}f}$ die Variable ${\displaystyle {}X_{i}}$ durch ${\displaystyle {}X_{\sigma (i)}}$ ersetzt.

Das ${\displaystyle {}i}$-te elementarsymmetrische Polynom in ${\displaystyle {}n}$ Variablen ist das Polynom (mit ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$)

${\displaystyle {}E_{i}:=\sum _{1\leq k_{1}<\ldots <k_{i}\leq n}X_{k_{1}}\cdots X_{k_{i}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch

${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},}$

falls der Grad von ${\displaystyle {}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$, (also ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$), kleiner als der Grad von ${\displaystyle {}X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}}$ ist, oder, bei gleichem Grad, wenn ${\displaystyle {}a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}}$, aber ${\displaystyle {}a_{k+1}<b_{k+1}}$ ist, gegeben.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Eine Abbildung

${\displaystyle G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto gx,}$

Gruppenoperation (von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}M}$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${\displaystyle {}ex=x}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$.
2. ${\displaystyle {}(gh)x=g(hx)}$ für alle ${\displaystyle {}g,h\in G}$ und für alle ${\displaystyle {}x\in M}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Eine Gruppenoperation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}M}$ heißt treu, wenn aus ${\displaystyle {}gx=x}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$ folgt, dass ${\displaystyle {}g=e}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ operiere. Eine Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ heißt ${\displaystyle {}G}$-invariant, wenn zu jedem ${\displaystyle {}x\in T}$ und jedem ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ auch ${\displaystyle {}\sigma x\in T}$ gilt.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Man nennt zwei Elemente ${\displaystyle {}x,y\in M}$ ${\displaystyle {}G}$-äquivalent (oder äquivalent unter ${\displaystyle {}G}$), wenn es ein ${\displaystyle {}g\in G}$ mit ${\displaystyle {}y=gx}$ gibt.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Die Äquivalenzklassen auf ${\displaystyle {}M}$ zur ${\displaystyle {}G}$-Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Ein Punkt ${\displaystyle {}x\in M}$ heißt Fixpunkt der Operation, wenn ${\displaystyle {}gx=x}$ ist für alle ${\displaystyle {}g\in G}$.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Zu ${\displaystyle {}x\in M}$ heißt

${\displaystyle {}G_{x}={\left\{g\in G\mid gx=x\right\}}\,}$

die Isotropiegruppe zu ${\displaystyle {}x}$.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Die Operation heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ${\displaystyle {}x,y\in M}$ ein ${\displaystyle {}g\in G}$ mit ${\displaystyle {}gx=y}$ gibt.

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

${\displaystyle M\backslash G}$

bezeichnet. Die Abbildung

${\displaystyle M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],}$

wobei ${\displaystyle {}[x]}$ die Bahn durch ${\displaystyle {}x}$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.

Sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ zwei Mengen, auf denen jeweils ${\displaystyle {}G}$ operiert. Dann heißt eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

${\displaystyle {}G}$-invariant (oder ${\displaystyle {}G}$-verträglich) wenn für alle ${\displaystyle {}g\in G}$ und alle ${\displaystyle {}x\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}\varphi (gx)=g\varphi (x)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum. Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe. Eine Operation

${\displaystyle \mu \colon G\times V\longrightarrow V}$

heißt linear, wenn für jedes ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ die Abbildung

${\displaystyle V\longrightarrow V,\,v\longmapsto \mu (\sigma ,v),}$

${\displaystyle {}K}$-linear ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ linear operiere. Ein Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ heißt ${\displaystyle {}G}$-invariant, wenn für alle ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ und alle ${\displaystyle {}v\in U}$ auch ${\displaystyle {}\sigma v\in U}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ linear operiere. Der Untervektorraum

${\displaystyle {\left\{v\in V\mid \sigma v=v{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}}$

heißt der Fixraum der Gruppenoperation.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein (endlichdimensionaler) ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}}$

nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über ${\displaystyle {}K}$).

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Unter der regulären Darstellung von ${\displaystyle {}G}$ versteht man den Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(K^{G}\right)},\,\sigma \longmapsto {\left(e_{\tau }\mapsto e_{\sigma \tau }\right)}.}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ ein Monoid und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )}$

ein Charakter von ${\displaystyle {}G}$ in ${\displaystyle {}K}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ ein Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

${\displaystyle {}G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,K)={\left\{\chi :G\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,}$

die Charaktergruppe von ${\displaystyle {}G}$ (in ${\displaystyle {}K}$).

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen ${\displaystyle {}f_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{m}}$, wobei die ${\displaystyle {}f_{i}}$ Linearformen auf ${\displaystyle {}V}$ sind, symbolisch erzeugte kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu ${\displaystyle {}V}$. Er wird mit

${\displaystyle K[V]}$

bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V,W}$ seien endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$-Vektorräume und ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow W}$ sei eine lineare Abbildung. Den durch

${\displaystyle {\varphi }^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}}$

über ${\displaystyle {}f_{1}\cdots f_{m}\mapsto {\varphi }^{*}(f_{1})\dots {\varphi }^{*}(f_{m})}$ gegebenen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle K[W]\longrightarrow K[V]}$

nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum und

${\displaystyle G\times V\longrightarrow V}$

eine lineare Operation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}K[V]}$ der Polynomring zu ${\displaystyle {}V}$. Die Operation der Gruppe ${\displaystyle {}G}$ (von rechts) auf ${\displaystyle {}K[V]}$, die für jedes ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ per Definition 4.5 durch die Zuordnung

${\displaystyle {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \sigma ,}$

festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${\displaystyle {}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,}$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${\displaystyle {}R}$ unter der Operation von ${\displaystyle {}G}$.

Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ heißt die Untergruppe

${\displaystyle {}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,}$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}R}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra, auf der eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ als Gruppe von ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei

${\displaystyle \chi \colon G\longrightarrow K^{\times }}$

ein Charakter auf ${\displaystyle {}G}$. Dann nennt man

${\displaystyle {}R_{\chi }^{G}:={\left\{f\in R\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,}$

die ${\displaystyle {}\chi }$-relativen Invarianten oder Semiinvarianten bezüglich ${\displaystyle {}\chi }$.

Es sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ ein Unterring eines kommutativen Ringes ${\displaystyle {}S}$. Man sagt, dass ${\displaystyle {}R}$ ein direkter Summand von ${\displaystyle {}S}$ ist, wenn es einen ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}M}$ gibt mit ${\displaystyle {}S\cong R\oplus M}$ (es liegt also ein ${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphismus vor).

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe. Eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$ heißt ${\displaystyle {}D}$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

${\displaystyle {}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,}$

mit ${\displaystyle {}R}$-Untermoduln ${\displaystyle {}A_{d}}$ gibt derart, dass ${\displaystyle {}R\subseteq A_{0}}$ ist und für die Multiplikation auf ${\displaystyle {}A}$ die Beziehung

${\displaystyle {}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und

${\displaystyle {}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,}$

${\displaystyle {}D}$-graduierte ${\displaystyle {}R}$-Algebra. Ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq A}$ heißt homogen, wenn zu ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ auch die homogenen Komponenten ${\displaystyle {}f_{d}\in {\mathfrak {a}}}$ sind.

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring ${\displaystyle {}R[M]}$ wie folgt konstruiert. Als ${\displaystyle {}R}$-Modul ist

${\displaystyle {}R[M]=\bigoplus _{m\in M}Re_{m}\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}R[M]}$ ist der freie Modul mit Basis ${\displaystyle {}e_{m}}$, ${\displaystyle {}m\in M}$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

${\displaystyle {}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,}$

definiert und auf ganz ${\displaystyle {}R[M]}$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element ${\displaystyle {}0\in M}$ das neutrale Element ${\displaystyle {}1=e_{0}}$ der Multiplikation.

Zu einem kommutativen Monoid ${\displaystyle {}M}$ und einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ nennt man einen Monoidhomomorphismus

${\displaystyle M\longrightarrow (R,\cdot ,1)}$

auch einen ${\displaystyle {}R}$-wertigen Punkt von ${\displaystyle {}M}$.

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

${\displaystyle {}\Gamma (M)={\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}}\,}$

mit der Addition

${\displaystyle {}{\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,}$

und der Identifikation

${\displaystyle m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.}$

die Differenzengruppe zu ${\displaystyle {}M}$.

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid ${\displaystyle {}M}$ die Kürzungsregel gilt (oder dass ${\displaystyle {}M}$ ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung

${\displaystyle m+n=m+k{\text{ mit }}m,n,k\in M,}$

stets folgt, dass ${\displaystyle {}n=k}$ ist.

Ein kommutatives Monoid ${\displaystyle {}M}$ heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente ${\displaystyle {}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M}$ gibt derart, dass man jedes ${\displaystyle {}m\in M}$ als

${\displaystyle {}m=\sum _{j=1}^{n}a_{j}m_{j}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{j}\in \mathbb {N} }$ schreiben kann.

Ein kommutatives Monoid ${\displaystyle {}M}$ heißt spitz, wenn ${\displaystyle {}0}$ das einzige invertierbare Element in ${\displaystyle {}M}$ ist.

Ein kommutatives Monoid ${\displaystyle {}M}$ heißt torsionsfrei, wenn für ${\displaystyle {}m,n\in M}$ aus ${\displaystyle {}rm=rn}$ für eine positive Zahl ${\displaystyle {}r\in \mathbb {N} _{+}}$ stets ${\displaystyle {}m=n}$ folgt.

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${\displaystyle {}\Gamma (M)}$. Dann heißt das Untermonoid

${\displaystyle {}{\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,}$

die Normalisierung von ${\displaystyle {}M}$.

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-graduierte ${\displaystyle {}R}$-Algebra und ${\displaystyle {}s\in \mathbb {N} _{+}}$. Dann nennt man

${\displaystyle A^{(s)}:=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }A_{sn}\subseteq A}$

den ${\displaystyle {}s}$-ten Veronese-Ring von ${\displaystyle {}A}$.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und seien ${\displaystyle {}M_{1},M_{2},M_{3}}$ ${\displaystyle {}R}$-Moduln Man nennt ein Diagramm der Form

${\displaystyle 0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0}$

eine kurze exakte Sequenz von ${\displaystyle {}R}$-Moduln, wenn ${\displaystyle {}M_{1}}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Untermodul von ${\displaystyle {}M_{2}}$ ist, und wenn ${\displaystyle {}M_{3}}$ ein Restklassenmodul von ${\displaystyle {}M_{2}}$ ist, der isomorph zu ${\displaystyle {}M_{2}/M_{1}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$ heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

${\displaystyle {}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,}$

besitzt.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Der Modul ${\displaystyle {}M}$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Ein kommutativer Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${\displaystyle {}x\in S}$ heißt eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,}$

wobei die Koeffizienten ${\displaystyle r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1}$, zu ${\displaystyle {}R}$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}x}$.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${\displaystyle {}x\in S}$ heißt ganz (über ${\displaystyle {}R}$), wenn ${\displaystyle {}x}$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}R}$ erfüllt.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${\displaystyle {}x\in S}$, die ganz über ${\displaystyle {}R}$ sind, den ganzen Abschluss von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}S}$.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${\displaystyle {}S}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$, wenn jedes Element ${\displaystyle {}x\in S}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$ ist.

Seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${\displaystyle {}R}$ ganz-abgeschlossen in ${\displaystyle {}S}$, wenn der ganze Abschluss von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}S}$ gleich ${\displaystyle {}R}$ ist.

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Zu einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ und einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}r}$ nennt man die Menge der ${\displaystyle {}r}$-dimensionalen Untervektorräume ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ die ${\displaystyle {}r}$-te Graßmann-Varietät. Sie wird mit ${\displaystyle {}G(r,V)}$ und bei ${\displaystyle {}V=K^{n}}$ mit ${\displaystyle {}G(r,n)}$ bezeichnet.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ${\displaystyle {}K}$) ist eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ der Form

${\displaystyle {}G={\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(K)\,,}$

wobei ${\displaystyle {}H}$ eine kommutative endlich erzeugte ${\displaystyle {}K}$-Hopf-Algebra ist.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ die Gruppe der invertierbaren ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Zu einer affin-algebraischen Gruppe ${\displaystyle {}G}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$, die durch die kommutative ${\displaystyle {}K}$-Hopf-Algebra ${\displaystyle {}H}$ gegeben sei, nennt man eine Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf einer kommutativen ${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}R}$ algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von ${\displaystyle {}H}$ auf ${\displaystyle {}R}$ gegeben ist.

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit ${\displaystyle {}f\neq 0}$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}Q(R)}$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}Q(R)}$ die Normalisierung von ${\displaystyle {}R}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-graduierte kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}R}$ heißt positiv-graduiert, wenn ${\displaystyle {}R_{d}=0}$ für ${\displaystyle {}d<0}$ und ${\displaystyle {}R_{0}=K}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,}$

nennt man Primidealkette der Länge ${\displaystyle {}n}$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ${\displaystyle {}R}$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {dim} {\left(R\right)}}$ bezeichnet.

Zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ nennt man die Menge der Primideale von ${\displaystyle {}R}$ das Spektrum von ${\displaystyle {}R}$, geschrieben

${\displaystyle \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.}$

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${\displaystyle {}R}$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq R}$ die Mengen

${\displaystyle {}D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,}$

als offen erklärt werden.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}R}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra. Zu einer weiteren ${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}L}$ nennt man die Menge der ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(R,L)}$

das ${\displaystyle {}L}$-Spektrum von ${\displaystyle {}R}$. Es wird mit ${\displaystyle {}L\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und seien ${\displaystyle {}V_{1},\ldots ,V_{n},W}$ ${\displaystyle {}R}$-Moduln. Eine Abbildung

${\displaystyle \psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W}$

heißt ${\displaystyle {}R}$-multilinear, wenn für jedes ${\displaystyle {}i\in {\{1,\ldots ,n\}}}$ und jedes ${\displaystyle {}(n-1)}$-Tupel ${\displaystyle {}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$ (mit ${\displaystyle v_{j}\in V_{j}}$) die induzierte Abbildung

${\displaystyle V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},}$

${\displaystyle {}R}$-linear ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}V_{1},\ldots ,V_{n},W}$ seien ${\displaystyle {}R}$-Moduln. Es sei ${\displaystyle {}F}$ der von sämtlichen Symbolen ${\displaystyle {}v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}}$ (mit ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}}$) erzeugte freie ${\displaystyle {}R}$-Modul. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq F}$ der von allen Elementen der Form

1. ${\displaystyle {}r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}}$,
2. ${\displaystyle {}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}}$,

erzeugte ${\displaystyle {}R}$-Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul ${\displaystyle {}F/U}$ das Tensorprodukt der ${\displaystyle {}V_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in {\{1,\ldots ,n\}}}$. Es wird mit

${\displaystyle V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}}$

bezeichnet.

Zu einem ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}M}$ und einem Ringhomomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow R'}$

${\displaystyle {}R'\otimes _{R}M}$

${\displaystyle {}R'}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}H}$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)

${\displaystyle \Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,}$

${\displaystyle \epsilon \colon H\longrightarrow K}$

und

${\displaystyle S\colon H\longrightarrow H}$

gibt, derart, dass die Diagramme

und

kommutieren.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}H}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum ${\displaystyle {}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}}$ zusammen mit den induzierten ${\displaystyle {}K}$-Morphismen

${\displaystyle \Delta ^{*}\colon G\times _{K}G\longrightarrow G,}$

${\displaystyle \epsilon ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K\right)}\longrightarrow G}$

und

${\displaystyle S^{*}\colon G\longrightarrow G}$

das zugehörige affine Gruppenschema.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}H}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Hopf-Algebra und ${\displaystyle {}R}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra. Unter einer Kooperation von ${\displaystyle {}H}$ auf ${\displaystyle {}R}$ versteht man einen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R}$

und

kommutieren.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}H}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Hopf-Algebra und ${\displaystyle {}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei

${\displaystyle N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R}$

eine Kooperation von ${\displaystyle {}H}$ auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ mit dem Spektrum ${\displaystyle {}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$. Dann nennt man den zu ${\displaystyle {}N}$ gehörenden ${\displaystyle {}K}$-Morphismus

${\displaystyle N^{*}\colon G\times _{K}X=\operatorname {Spek} {\left(H\otimes _{K}R\right)}\longrightarrow X}$

eine (${\displaystyle {}K}$-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}X}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}R}$ eine positiv-graduierte kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra mit der Eigenschaft, dass für jedes ${\displaystyle {}d\in \mathbb {N} }$ die Stufe ${\displaystyle {}R_{d}}$ endlichdimensional ist. Dann nennt man die Potenzreihe

${\displaystyle \sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}\right)}z^{d}}$

die Hilbert-Reihe von ${\displaystyle {}R}$.

Die endliche Gruppe ${\displaystyle {}G}$ operiere linear auf dem Polynomring ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Dann nennt man die Potenzreihe

${\displaystyle {}\Phi _{G}(z)=\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}^{G}\right)}z^{d}\,}$

die Hilbert-Reihe (oder Molien-Reihe) zu dieser Operation.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}M=(a_{ij})_{ij}}$ eine ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix über ${\displaystyle {}K}$. Dann heißt

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,}$