Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Anhang D

Wir erinnern an die Begriffe multiplikatives System und Nenneraufnahme.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

${}1\in S$ ,
Wenn ${}f,g\in S$ , dann ist auch ${}fg\in S$ ,

gelten.

Beispiel

Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement ${}R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen ${}f^{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , ein multiplikatives System.

Beispiel

Sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von ${}0$ verschiedenen Elemente in ${}R$ ein multiplikatives System, das mit ${}R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

Definition

Sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\not \in S$ . Dann nennt man den Unterring

{}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,

die Nenneraufnahme zu ${}S$ .

Für die Nenneraufnahme an einem Element ${}f$ schreibt man einfach ${}R_{f}$ statt ${}R_{\{f^{n}:n\in {\mathbb {N} }\}}$ .

Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn ${}R$ kein Integritätsbereich ist, siehe Aufgabe 13.1.

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.