Nach Fakt ist eine Zahl ${\displaystyle {}u\in K}$ genau dann eine Nullstelle von ${\displaystyle {}P}$, wenn ${\displaystyle {}X-u}$ ein Linearfaktor von ${\displaystyle {}P}$ ist. Da ${\displaystyle {}u,v,w}$ verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von ${\displaystyle {}P}$ genau dann, wenn

${\displaystyle {}P=(X-u)(X-v)(X-w)\,}$

ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man

${\displaystyle {}(X-u)(X-v)(X-w)=X^{3}-(u+v+w)X^{2}+(uv+uw+vw)X-uvw\,.}$

Dies stimmt mit ${\displaystyle {}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d}$ genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig

${\displaystyle {}uvw=-d\,,}$

${\displaystyle {}uv+uw+vw=c\,,}$

${\displaystyle {}u+v+w=-b\,,}$