Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}R}$ der ${\displaystyle {}p}$-te Kreisteilungsring, also

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,}$

nach Fakt. Nach Fakt ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }&\cong R/{\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-2}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}\\&\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1,(p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}.\end{aligned}}}$

Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da ${\displaystyle {}X^{p}-1}$ zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja

${\displaystyle {}X^{p}-1=(X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,}$

und somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}pX^{p-1}dX&=d{\left(X^{p}-1\right)}\\&=d{\left((X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\right)}\\&={\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}dX+(X-1){\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}dX.\end{aligned}}}$

Damit ist insbesondere

${\displaystyle {}pdX=0\,}$

in ${\displaystyle {}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }}$, da ja ${\displaystyle {}X}$ eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein ${\displaystyle {}R_{p}/pR_{p}}$-Modul und insbesondere ein ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Modul. Daher und wegen Fakt ist

${\displaystyle {}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\Omega _{R_{p}/pR_{p}{|}\mathbb {Z} /(p)}\,.}$

Da der Faserring über ${\displaystyle {}p}$ die Form

${\displaystyle {}R_{p}/pR_{p}=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left((X-1)^{p-1}\right)}=\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}\,}$

besitzt, ist wegen ${\displaystyle {}{\left(Y^{p-1}\right)}'=-Y^{p-2}}$ insgesamt

${\displaystyle {}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}{|}\mathbb {Z} /(p)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-2}\right)}\,.}$

Dies ist ein freier ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Modul mit der (in ${\displaystyle {}X}$ geschriebenen) Basis ${\displaystyle {}dX,XdX,\ldots ,X^{p-3}dX}$ (also vom Rang ${\displaystyle {}p-2}$).