Es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}p}$-te Einheitswurzel. Diese geht unter der logarithmischen Ableitung auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\zeta ^{-1}d\zeta &=\zeta ^{p-1}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-2}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-\zeta ^{p-2}d\zeta -{\left(\sum _{j=0}^{p-3}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-3}(j+1)\zeta ^{j}\right)}d\zeta -{\left(\sum _{j=0}^{p-3}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-3}(j+2)\zeta ^{j}\right)}d\zeta ,\end{aligned}}}$

wobei wir Aufgabe verwendet haben. Dies ist nicht ${\displaystyle {}0}$ (sogar in jeder Komponente), daher hat es die Ordnung ${\displaystyle {}p}$. Das Bild besteht also aus ${\displaystyle {}p}$ Elementen, und da die Einheitswurzelgruppe aus ${\displaystyle {}2p}$ Elementen besteht, ist der Kern zweielementig. Wegen ${\displaystyle {}(-1)d(-1)=0}$

${\displaystyle {}\{\pm 1\}}$