Das ${\displaystyle {}p}$-te Kreisteilungspolynom ist

${\displaystyle {}\Phi _{p}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})\,.}$

Es ist nach Fakt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})&=\prod _{0\leq i<j\leq p-2}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})^{2}\\&=\pm \prod _{0\leq i,j\leq p-2,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j}).\end{aligned}}}$

Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen ${\displaystyle {}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}}$ und ${\displaystyle {}\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}}$ betrachtet, so ist deren Determinante gleich ${\displaystyle {}\pm 1}$ und deshalb kann man wegen Fakt genauso gut ${\displaystyle {}\pm \prod _{1\leq i,j\leq p-1,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})}$ berechnen.

Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von ${\displaystyle {}\Phi _{p}}$ ist nach der Produktregel gleich

${\displaystyle \sum _{k=1}^{p-1}(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})/(X-\zeta ^{k}).}$

Wenn man darin ${\displaystyle {}\zeta ^{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,p-1}$, einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für ${\displaystyle {}k=i}$ zu ${\displaystyle {}0}$, und der verbleibende Summand ist

${\displaystyle {}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\prod _{1\leq j\leq p-1,\,j\neq i}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})\,.}$

Somit ist die Diskriminante gleich

${\displaystyle {}\pm \prod _{i=1}^{p-1}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\pm \prod _{\varphi }\Phi _{p}'(\varphi (\zeta ))=\pm \prod _{\varphi }\varphi (\Phi _{p}'(\zeta ))=\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\varphi }$ die Galoisgruppe durchläuft und Fakt verwendet wurde. Aufgrund von

${\displaystyle {}X^{p}-1=(X-1)\Phi _{p}\,}$

gilt für die Ableitung auch die Beziehung

${\displaystyle {}pX^{p-1}=(X-1)\Phi _{p}'-\Phi _{p}\,.}$

Wenn man darin ${\displaystyle {}\zeta }$ einsetzt, so erhält man

${\displaystyle {}p\zeta ^{p-1}=p\zeta ^{-1}=(\zeta -1)\Phi _{p}'(\zeta )\,}$

und somit

${\displaystyle {}\Phi _{p}'(\zeta )=p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1}\,.}$

Die Norm von ${\displaystyle {}\zeta -1}$ ist

${\displaystyle {}N(\zeta -1)=\prod _{k=1}^{p-1}(\zeta ^{k}-1)=\pm \Phi _{p}(1)=\pm p\,.}$

Deshalb ist die Diskriminante nach Fakt und Fakt gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))&=\pm N(p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1})\\&=\pm N(p)N(\zeta ^{-1})N((\zeta -1)^{-1})\\&=\pm p^{p-1}\cdot {\frac {1}{p}}\\&=\pm p^{p-2}\end{aligned}}}$