Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}K_{5}}$ mit der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis ${\displaystyle {}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}}$, wobei ${\displaystyle {}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$ ist.

1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu ${\displaystyle {}\zeta ^{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,1,2,3}$, bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )}$ bezüglich dieser Basis.