Betrachte die Kreislinie ${\displaystyle {}S^{1}}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${\displaystyle {}S^{1}}$, also ein neutrales Element ${\displaystyle {}P\in S^{1}}$, eine differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \alpha \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,x\longmapsto \alpha (x),}$

und eine differenzierbare Abbildung

${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),}$

derart, dass ${\displaystyle {}S^{1}}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe