Das komplexe Quadrieren

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto z^{2},}$

kann man reell als

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),}$

schreiben. Untersuche ${\displaystyle {}\varphi }$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist ${\displaystyle {}\varphi }$