Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir ${\displaystyle {}k_{0}=0}$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle ${\displaystyle {}a_{k}}$ nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

${\displaystyle {}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}q^{k}\,.}$

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.