Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

${\displaystyle {}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,}$

mit ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)}$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, wo der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${\displaystyle {}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}}$ des Nennerpolynoms. Bei ${\displaystyle {}r=0,1}$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${\displaystyle {}Q}$ ein Nennerpolynom vom Grad ${\displaystyle {}r}$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${\displaystyle {}X-a_{1}}$ ein Linearfaktor von ${\displaystyle {}Q}$, so dass wir

${\displaystyle {}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,}$

schreiben können, wobei ${\displaystyle {}{\tilde {Q}}}$ den Grad ${\displaystyle {}r-1}$ besitzt. Die Ordnung von ${\displaystyle {}X-a_{1}}$ in ${\displaystyle {}Q}$ sei ${\displaystyle {}r_{1}}$. Wir setzen

${\displaystyle {}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,}$

an. Dies führt auf

${\displaystyle {}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,}$

aus der wir ${\displaystyle {}c_{1r_{1}}}$ und ${\displaystyle {}{\tilde {P}}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${\displaystyle {}X=a_{1}}$ gelten soll, muss

${\displaystyle {}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,}$

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${\displaystyle {}a_{i}}$ als verschieden vorausgesetzt wurden. Wir betrachten nun

${\displaystyle P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}}$

mit dem soeben bestimmten Wert ${\displaystyle {}c_{1r_{1}}}$. Für diese Differenz ist dann ${\displaystyle {}a_{1}}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, so dass man nach Fakt durch ${\displaystyle {}X-a_{1}}$ teilen kann, also

${\displaystyle {}P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,}$

erhält. Dadurch ist ${\displaystyle {}{\tilde {P}}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${\displaystyle {}{\tilde {P}}}$ ist kleiner als der Grad von ${\displaystyle {}P}$ und der Grad von ${\displaystyle {}{\tilde {P}}}$ ist kleiner als der Grad von ${\displaystyle {}{\tilde {Q}}}$. Daher können wir auf ${\displaystyle {}{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.