Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt

Komplexe Partialbruchzerlegung

Es seien ${}P,Q\in \mathbb {C} [X]$ , ${}Q\neq 0$ , Polynome und es sei

Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}

mit verschiedenen ${}a_{i}\in \mathbb {C}$ .

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in \mathbb {C} [X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in \mathbb {C}$ , ${}1\leq i\leq s$ , ${}1\leq j\leq r_{i}$ , mit

${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}.$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen

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