Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutativer Halbring und ${\displaystyle {}x,y\in M}$. Es sei

${\displaystyle {}I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d,\,u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.}$

1. 1. Die Zugehörigkeit ${\displaystyle {}0\in I}$ ergibt sich aus ${\displaystyle {}a=b=c=d=0}$.
   2. Sei ${\displaystyle {}u+ax+by=cx+dy}$ und ${\displaystyle {}v+a'x+b'y=c'x+d'y}$. Dann ist durch Addition der beiden Gleichungen direkt

      ${\displaystyle {}u+v+(a+a')x+(b+b')y=u+v+ax+by+a'x+b'y=cx+dy+c'x+d'y=(c+c')x+(d+d')y\,.}$

   3. Sei ${\displaystyle {}u+ax+by=cx+dy}$. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}r}$ ergibt sich direkt

      ${\displaystyle {}ru+rax+rby=rcx+rcy\,.}$

2. Sei ${\displaystyle {}u=v+z}$ und ${\displaystyle {}u+ax+by=cx+dy}$ und ${\displaystyle {}v+a'x+b'y=c'x+d'y}$. Durch Addition der beiden Gleichungen über Kreuz erhält man

   ${\displaystyle {}v+cx+dy+a'x+b'y=u+ax+by+c'x+d'y=v+z+ax+by+c'x+d'y\,.}$

   Aufgrund der Abziehregel gilt

   ${\displaystyle {}cx+dy+a'x+b'y=z+ax+by+c'x+d'y\,,}$

   was die Zugehörigkeit ${\displaystyle {}z\in I}$ bedeutet.