Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutativer Halbring und ${\displaystyle {}x,y\in M}$. Es sei

${\displaystyle {}I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d{\text{ mit }}u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.}$

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}I}$ die folgenden drei Eigenschaften erfüllt.
   1. ${\displaystyle {}0\in I}$.
   2. Wenn ${\displaystyle {}u,v\in I}$ sind, so ist auch ${\displaystyle {}u+v\in I}$.
   3. Wenn ${\displaystyle {}u\in I}$ und ${\displaystyle {}r\in M}$ ist, so ist auch ${\displaystyle {}ru\in I}$.
2. ${\displaystyle {}M}$ erfülle nun die Abziehregel. Zeige, dass aus ${\displaystyle {}u,v\in I}$ mit ${\displaystyle {}u=v+z}$ auch ${\displaystyle {}z\in I}$ folgt.