Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq R}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige: ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${\displaystyle {}g\in R}$, ${\displaystyle {}g\not \in {\mathfrak {a}}}$,

${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle {}r\in R}$

${\displaystyle {}rg+f=1}$