Sei ${\displaystyle {}f\in L}$. Nach Voraussetzung ist ${\displaystyle {}L}$ endlich über ${\displaystyle {}K}$. Daher erfüllt ${\displaystyle {}f}$ eine Ganzheitsgleichung der Form

${\displaystyle {}f^{n}+q_{n-1}f^{n-1}+\cdots +q_{1}f+q_{0}=0\,}$

mit ${\displaystyle {}q_{i}\in K}$. Sei ${\displaystyle {}r\in R}$ ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller ${\displaystyle {}q_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n-1}$. Multiplikation mit ${\displaystyle {}r^{n}}$ ergibt dann

${\displaystyle {}(rf)^{n}+q_{n-1}r(rf)^{n-1}+\cdots +q_{1}r^{n-1}(rf)+q_{0}r^{n}=0\,.}$

Dies ist eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}rf}$, da die Koeffizienten ${\displaystyle {}q_{n-i}r^{i}}$ nach Wahl von ${\displaystyle {}r}$ alle zu ${\displaystyle {}R}$ gehören. Damit ist ${\displaystyle {}rf\in S}$, da ${\displaystyle {}S}$ der ganze Abschluss ist. Somit zeigt ${\displaystyle {}f={\frac {rf}{r}}}$, dass ${\displaystyle {}f}$ als ein Bruch mit einem Zähler aus ${\displaystyle {}S}$ und einem Nenner aus ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ darstellbar ist, also im Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(S)}$ liegt.