Wir zeigen, dass die Teilmenge

${\displaystyle {}M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,}$

gleich ${\displaystyle {}L}$ ist. Sei ${\displaystyle {}E={\left\{x_{i}\mid i\in I\right\}}}$ das Erzeugendensystem und sei ${\displaystyle {}P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Polynom in einer endlichen Teilmenge ${\displaystyle {}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\subseteq E}$. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi (P(x_{1},\ldots ,x_{n}))=P(\varphi (x_{1}),\ldots ,\varphi (x_{n}))=P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

da ja ${\displaystyle {}\varphi }$ ein ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismus ist, und somit ist ${\displaystyle {}P\in M}$. Das bedeutet, dass die von ${\displaystyle {}E}$ über ${\displaystyle {}K}$ erzeugte Algebra zu ${\displaystyle {}M}$ gehört. Da ${\displaystyle {}L}$ der von ${\displaystyle {}E}$ erzeugte Körper ist, gibt es für ${\displaystyle {}x\in L}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$, eine Darstellung ${\displaystyle {}x=y/z}$ mit ${\displaystyle {}y,z\in M}$. Daher ist wegen

${\displaystyle {}\varphi (x)=\varphi (y)/\varphi (z)=y/z=x\,}$

auch ${\displaystyle {}x\in M}$.