Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),}$

die einem Nullstellentupel ${\displaystyle {}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)}$ das Koeffiziententupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$ (ohne die ${\displaystyle {}1}$) des normierten Polynoms

${\displaystyle {}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,}$

zuordnet.

1. Beschreibe ${\displaystyle {}\varphi }$ explizit für ${\displaystyle {}n=2}$.
2. Beschreibe ${\displaystyle {}\varphi }$ explizit für ${\displaystyle {}n=3}$.
3. Begründe, dass die ${\displaystyle {}\varphi }$ polynomiale Abbildungen sind.
4. Zeige, dass die Fasern von ${\displaystyle {}\varphi }$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$ erreicht wird.
7. Sei ${\displaystyle {}K}$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv ist.