In der Situation von Fakt kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$ stiften. Es sei

${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in T_{P}V=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)\,.}$

Dies definiert eine Abbildung

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}\longrightarrow K,\,g\longmapsto (dg)_{P}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}\partial _{1}g(P)+\cdots +v_{n}\partial _{n}g(P),}$

dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion ${\displaystyle {}g}$ die Auswertung in ${\displaystyle {}P}$ ihrer Richtungsableitung in Richtung ${\displaystyle {}v}$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal ${\displaystyle {}(f_{1},\ldots ,f_{m})}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet und es ergibt sich eine ${\displaystyle {}K}$-lineare Abbildung

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}\longrightarrow K.}$