Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}f}$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von ${\displaystyle {}g}$ existieren beide Integrale. Es sei ${\displaystyle {}F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f}$, die aufgrund von Fakt existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

${\displaystyle {}t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,}$

die Ableitung ${\displaystyle {}F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)}$. Daher gilt insgesamt

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.}$