Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}I\setminus \{a\}}$, die gegen ${\displaystyle {}a}$ konvergiert. Zu jedem ${\displaystyle {}x_{n}}$ gibt es nach Fakt, angewandt auf ${\displaystyle {}I_{n}:=[x_{n},a]}$ bzw. ${\displaystyle {}[a,x_{n}]}$, ein ${\displaystyle {}c_{n}}$ (im Innern von ${\displaystyle {}I_{n}}$) mit

${\displaystyle {}{\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.}$

Die Folge ${\displaystyle {}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert ebenfalls gegen ${\displaystyle {}a}$, so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${\displaystyle {}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w}$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen ${\displaystyle {}w}$, und wegen ${\displaystyle {}f(a)=g(a)=0}$ bedeutet das, dass ${\displaystyle {}{\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}}$ gegen ${\displaystyle {}w}$ konvergiert.