Es sei ${\displaystyle {}(R,{\mathfrak {m}})}$ ein noetherscher lokaler Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul der Dimension ${\displaystyle {}d}$. Zeige, dass der Limes

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }d!{\frac {\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}}{n^{d}}}}$

existiert und mit der Hilbert-Samuel-Multiplizität

${\displaystyle {}M}$