Es sei ${\displaystyle {}x}$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${\displaystyle {}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.}$

Wir müssen zeigen, dass für ${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$ der Limes existiert und gleich ${\displaystyle {}f(x)}$ ist. Dies ist äquivalent dazu, dass der Limes von

${\displaystyle {\frac {1}{h}}{\left(\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt-hf(x)\right)}}$

für ${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Mit der durch ${\displaystyle {}f(x)}$ gegebenen konstanten Funktion können wir ${\displaystyle {}hf(x)=\int _{x}^{x+h}f(x)\,dt}$ schreiben und damit den Ausdruck

${\displaystyle {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt}$

betrachten. Indem wir die Funktion ${\displaystyle {}f(t)-f(x)}$ betrachten, können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}f(x)=0}$ ist. Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}f}$ gibt es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}t\in [x-\delta ,x+\delta ]}$ die Abschätzung ${\displaystyle {}\vert {f(t)}\vert \leq \epsilon }$ gilt. Damit gilt für ${\displaystyle {}h\in [-\delta ,+\delta ]}$ nach Fakt die Abschätzung

${\displaystyle {}\mid \!\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\!\mid \leq \mid \!\int _{x}^{x+h}\vert {f(t)}\vert \,dt\!\mid \leq \mid \!\int _{x}^{x+h}\epsilon \,dt\!\mid =\vert {h}\vert \epsilon \,}$

und daher

${\displaystyle {}\mid \!{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\!\mid \leq \epsilon \,.}$